在工程领域，我们经常会遇到一些非线性方程，比如简谐振动的位移方程、阻尼振动的速度方程等。这些方程通常难以直接求解，但是我们可以借助计算器来进行数值计算。今天我继续来分享如何使用卡西欧 fx-999CN CW 计算器来求解非线性方程。

要求解的问题

一个质量为 $m$、高度为 $d$ 的竖直放置的平板在一个劲度系数为 $k$ 的弹簧上受水平方向约束做简谐振动，其位移 $x$ 随时间 $t$ 的关系满足方程 $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$\omega$ 是角频率，$\varphi$ 是初相位。在 $t = 0$ 时，平板位于平衡位置，速度为零。此时有一个小球由振动平面平衡点 $O$ 下方一点 $P$ 向上斜抛，初速度为 $v_0$，与水平方向夹角为 $\theta$。试分析小球与平板是否碰撞，若碰撞求解第一次碰撞的时间 $t_1$。

已知 $d = 0.2\ \text{m}$，$m = 0.5\ \text{kg}$，$k = 10\ \text{N/m}$，$A = 0.45\ \text{m}$，$OP = 0.2\ \text{m}$，$v_0 = 2\ \text{m/s}$，$\theta = 45^\circ$，$g = 9.8\ \text{m/s}^2$。

问题示意图

利用计算器求解

分析平板的运动

平板受到弹簧的约束，所以平板的运动方程是一个简谐振动方程。我们可以通过简谐振动的位移方程来求解平板的位移 $x(t)$ 随时间 $t$ 的关系：
$$ \varphi = 0,\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. $$

使用计算器代入数据，在 计算 模式下输入 $\sqrt{\frac{10}{0.5}}$，按下 EXE，得到 $\omega = 2\sqrt 5\ \text{rad/s}$，即振动方程为 $x_1(t) = 0.45\cos(2\sqrt 5 t)$。

分析小球的运动

将小球的斜抛运动分解为竖直方向和水平方向的运动。竖直方向仅受重力，做匀变速运动；水平方向则是匀速运动。即
$$ y_2(t) = v_0 t \cos\theta - \frac 1 2 g t^2 + y_P, \quad x_2(t) = v_0 t \cos\theta. $$
代入数据，得到
$$ y_2(t) = \sqrt 2 t - 4.9 t^2 - 0.2, \quad x_2(t) = \sqrt 2 t. $$

求解碰撞时间

小球要与平板能够碰撞，必须满足 $- \frac d 2 \leq y_2(t_1) \leq \frac d 2$ 和 $x_2(t_1) = x_1(t_1)$，即小球要在平板的范围内运动，并且在某一时刻 $t_1$ 两者的位置重合。我们可以通过计算器来求解 $t_1$。

首先，我们利用第一个方程来解出 $t_1$ 的范围：
$$ -0.1 \leq \sqrt 2 t_1 - 4.9 t_1^2 - 0.2 \leq 0.1 $$

实际上就是求解方程 $\sqrt 2 t_1 - 4.9 t_1^2 - 0.2 = -0.1$ 的两根。我们打开计算器，按下 主屏幕 键，移动高亮到 方程，按下 OK，选择 多项式方程，再选择 ax^2 + bx +c。移动光标键入系数 -4.9、√(2)、-0.2-(-0.1)。
输入方程
解得范围为
$$\frac{5\sqrt 2 - 1}{49} \leq t_1 \leq \frac{5\sqrt 2 + 1}{49},$$
解得x1
解得x2
大约是
$$0.12 \leq t_1 \leq 0.17.$$

然后，我们利用第二个方程来求解 $t_1$：
$$ \sqrt 2 t_1 = 0.45\cos(2\sqrt 5 t_1) $$

这是一个非线性方程，我们可以通过计算器来求解。按下 主屏幕 键，移动高亮到 方程，按下 OK，选择 求解方程，输入 $\sqrt 2 x = 0.45\cos(2\sqrt 5 x)$，按下 EXE，设定迭代初始值为 $0.12$（即上面求解的 $t_1$ 的下限），得到
$$t_1 \approx 0.318 \ \text{s}.$$
解得t1