使用卡西欧 fx-999CN CW 求解非线性方程!

在工程领域,我们经常会遇到一些非线性方程,比如简谐振动的位移方程、阻尼振动的速度方程等。这些方程通常难以直接求解,但是我们可以借助计算器来进行数值计算。今天我继续来分享如何使用卡西欧 fx-999CN CW 计算器来求解非线性方程。

要求解的问题

一个质量为 mm、高度为 dd 的竖直放置的平板在一个劲度系数为 kk 的弹簧上受水平方向约束做简谐振动,其位移 xx 随时间 tt 的关系满足方程 x(t)=Acos(ωt+φ)x(t) = A \cos(\omega t + \varphi),其中 AA 是振幅,ω\omega 是角频率,φ\varphi 是初相位。在 t=0t = 0 时,平板位于平衡位置,速度为零。此时有一个小球由振动平面平衡点 OO 下方一点 PP 向上斜抛,初速度为 v0v_0,与水平方向夹角为 θ\theta。试分析小球与平板是否碰撞,若碰撞求解第一次碰撞的时间 t1t_1

已知 d=0.2 md = 0.2\ \text{m}m=0.5 kgm = 0.5\ \text{kg}k=10 N/mk = 10\ \text{N/m}A=0.45 mA = 0.45\ \text{m}OP=0.2 mOP = 0.2\ \text{m}v0=2 m/sv_0 = 2\ \text{m/s}θ=45\theta = 45^\circg=9.8 m/s2g = 9.8\ \text{m/s}^2

问题示意图

利用计算器求解

分析平板的运动

平板受到弹簧的约束,所以平板的运动方程是一个简谐振动方程。我们可以通过简谐振动的位移方程来求解平板的位移 x(t)x(t) 随时间 tt 的关系:

φ=0,ω=km.\varphi = 0,\quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

使用计算器代入数据,在 计算 模式下输入 100.5\sqrt{\frac{10}{0.5}},按下 EXE,得到 ω=25 rad/s\omega = 2\sqrt 5\ \text{rad/s},即振动方程为 x1(t)=0.45cos(25t)x_1(t) = 0.45\cos(2\sqrt 5 t)

分析小球的运动

将小球的斜抛运动分解为竖直方向和水平方向的运动。竖直方向仅受重力,做匀变速运动;水平方向则是匀速运动。即

y2(t)=v0tcosθ12gt2+yP,x2(t)=v0tcosθ.y_2(t) = v_0 t \cos\theta - \frac 1 2 g t^2 + y_P, \quad x_2(t) = v_0 t \cos\theta.

代入数据,得到

y2(t)=2t4.9t20.2,x2(t)=2t.y_2(t) = \sqrt 2 t - 4.9 t^2 - 0.2, \quad x_2(t) = \sqrt 2 t.

求解碰撞时间

小球要与平板能够碰撞,必须满足 d2y2(t1)d2- \frac d 2 \leq y_2(t_1) \leq \frac d 2x2(t1)=x1(t1)x_2(t_1) = x_1(t_1),即小球要在平板的范围内运动,并且在某一时刻 t1t_1 两者的位置重合。我们可以通过计算器来求解 t1t_1

首先,我们利用第一个方程来解出 t1t_1 的范围:

0.12t14.9t120.20.1-0.1 \leq \sqrt 2 t_1 - 4.9 t_1^2 - 0.2 \leq 0.1

实际上就是求解方程 2t14.9t120.2=0.1\sqrt 2 t_1 - 4.9 t_1^2 - 0.2 = -0.1 的两根。我们打开计算器,按下 主屏幕 键,移动高亮到 方程,按下 OK,选择 多项式方程,再选择 ax^2 + bx +c。移动光标键入系数 -4.9√(2)-0.2--0.1输入方程 解得范围为

52149t152+149,\frac{5\sqrt 2 - 1}{49} \leq t_1 \leq \frac{5\sqrt 2 + 1}{49},

解得x1解得x2 大约是

0.12t10.17.0.12 \leq t_1 \leq 0.17.

然后,我们利用第二个方程来求解 t1t_1

2t1=0.45cos(25t1)\sqrt 2 t_1 = 0.45\cos(2\sqrt 5 t_1)

这是一个非线性方程,我们可以通过计算器来求解。按下 主屏幕 键,移动高亮到 方程,按下 OK,选择 求解方程,输入 2x=0.45cos(25x)\sqrt 2 x = 0.45\cos(2\sqrt 5 x),按下 EXE,设定迭代初始值为 0.120.12(即上面求解的 t1t_1 的下限),得到

t10.318 s.t_1 \approx 0.318 \ \text{s}.

解得t1

由于 t1t_1 的上限是 0.17 s,而解得的 t10.318st_1 \approx 0.318 \text{s} 并不在此范围内,因此小球与平板不会碰撞。

总结

今天我们利用计算器解决了一个涉及到简谐振动和斜抛运动的问题。通过计算器的方程求解功能,我们可以快速地求解非线性方程,帮助我们更好地理解问题。希望这篇文章对你有所帮助!

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